Algebra, WS 2009 by Martin Goldstern

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Sei (G, ·, e, −1 ) Gruppe und x ∈ G. Dann ist die Abbildung6 ϕx : G→G g → xgx−1 ein Automorphismus von (G, ·, e, −1 ), genannt ein innerer Automorphismus von G. Wir nennen diese Abbildung Konjugation mit x. 5 6 englisch: simple Statt ϕx−1 (g) schreibt man oft g x . In dieser Schreibweise gilt dann: (g x )y = g xy . 34 ¨ Beweis. Ubung. 26 Anmerkung. Die Eigenschaft ii) in obigem Satz ist dann gleichbedeutend mit: ϕx (N ) ⊆ N f¨ ur alle x ∈ G. 27 Definition. Zwei Elemente g, h ∈ G heißen konjugiert“ zu einander, wenn es ein ” ¨ x mit x−1 gx = h gibt; Konjugiertheit ist offenbar eine Aquivalenzrelation.

Dann ist (N + U )/N zu U/(N ∩ U ) isomorph. ) Wenn n¨amlich dim N = n, dim U = u, dim(N ∩U ) = d, dann hat N +U Dimension n+u−d; (N + U )/N und U/(N ∩ U ) haben Dimension u − d und sind daher isomorph. 42 Definition. Sei (R, +, 0, −, ·) ein Ring und I Unterring von R. Dann heißt I - ein Linksideal von R :⇔ ∀r ∈ R : rI := {ri | i ∈ I} ⊆ I, - ein Rechtsideal von R :⇔ ∀r ∈ R : Ir := {ir | i ∈ I} ⊆ I, - ein Ideal von R (in Zeichen: I ⊳ R) :⇔ ∀r ∈ R : rI ⊆ I und Ir ⊆ I. 43 Beispiele. 1) {0} und R sind stets Ideale von R, die so genannten trivialen Ideale.

0), j−te Stelle woraus — nach Anwendung von ϕ — xy = 0 folgt. b) ⇒ c): I) und II) folgen aus dem zweiten Satz u ur bi ∈ Ui , ¨ber Gruppen. Zu III): F¨ r = a1 + · · · + an ∈ R gilt rbi = (a1 +· · ·+an )bi = a1 bi +· · ·+ai bi +· · ·+an bi = 0+· · ·+0+ai bi +0+· · ·+0 = ai bi ∈ Ui . Analog zeigt man bi r ∈ Ui . c) ⇒ a): Da ϕ nach I) und II) bijektiv ist (folgt aus dem Satz u ¨ber Gruppen), muss nur mehr gezeigt werden, dass ϕ Homomorphismus ist. Bez¨ uglich + folgt dies ebenfalls aus dem Satz u uglich · gilt: ¨ber Gruppen, bez¨ ϕ((a1 , .

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